練習問題 3.5.1

正の整数
x
および
y
について,
x
y
を割り切りかつ
y
x
を割り切るなら,
x = y
である. この事実を用いて,有理数は
y > 0
かつ
gcd (x,y) = 1
を満たす
(x,y)
がそれぞれ唯一の表現になることを証明せよ.



有理数p/qの表現を(x,y)および(x',y')とする.
いまq > 0を仮定しても一般性を失わないのでq > 0とする.
このとき正の整数m,nが存在して

   p/q = (m*x)/(m*y)  かつ  p/q = (n*x')/(n*y')

である.したがって,
  
   (m*x)/(m*y) = (n*x')/(n*y')

である.この等式の両辺に(m*y)*(n*y')をかけると

   (m*x)*(n*y') = (n*x')*(m*y)

である.さらに両辺をm * nで割ると

   x * y' = x' * y

となる.仮定より,x と y は互いに素なので,y' は y の倍数である.
また,x' と y' は互いに素なので,y は y' の倍数である.
すなわち,y と y' は互いに互いを割り切るので y = y' である.
同様の議論で,x = x'である.

したがって,有理数は y > 0 かつ gcd (x,y) = 1 を満たす (x,y) がそれぞれ唯一の表現になる.Q.E.D.