練習問題 3.2.3

法則
x↑(m+n) = (x↑m)×(x↑n)
任意の自然数
x
m
n
に対して成り立つか.



n
上の帰納法の場合分けに
n = ⊥
の場合を追加する.


左辺
    x ↑ (m + ⊥)
=   { + の定義.場合の枯渇 }
    x ↑ ⊥
=   { ↑の定義.場合の枯渇 }
    ⊥

右辺
    x ↑ m × x ↑ ⊥
=   { ↑の定義.場合の枯渇 }
    x ↑ m × ⊥
=   { ×の定義.場合の枯渇 }
    ⊥
したがって,法則
x↑(m+n) = (x↑m)×(x↑n)
任意の自然数
x
m
n
に対して成り立つ.