練習問題 1.4.1

f
および 
g
が以下の型を持つとする． 



f :: Integer -> Integer
g :: Integer -> (Integer -> Integer)


h

を以下のように定義してみよう．




h :: WhatType
h x y = f (g x y)


h

に正しい型を割り当てよ． 次に，以下の表明のうち正しいものはどれか（あるだけすべて）答えよ．




h     = f . g
h x   = f . (g x)
h x y = (f . g) x y




型の割り当ては以下のとおり


    

  • x
    
は

    g :: Integer -> (Integer -> Integer)
    
の引数であるから

    x :: Integer
    • 

  • y
    
は

    g x :: Integer -> Integer
    
の引数であるから

    y :: Integer
    • 

  • g x y :: Integer
    
であり

    f (g x y) :: Integer
    
であるから

    h x y :: Integer
    • 

  • したがって

    h :: Integer -> Integer -> Integer
    

    • 



というわけで，


type WhatType =  Integer -> Integer -> Integer


h

の定義から




    h x y = f (g x y)
=   { g x y = (g x) y }
    h x y = f ((g x) y)
=   { (.) の定義 }
    h x y = (f . g x) y
=   { セクション }
    h x y = ((f .) (g x)) y
=   { 外延性の原理 }
    h x = (f .) (g x)
=   { セクション }
    h x = f . (g x)
=   { セクション }
    h x = (f .) (g x)
=   { (.) の定義 }
    h x = ((f .) . g) x
=   { 外延性の原理 }
    h = (f .) . g

したがって

h x = f . (g x)

は正しい表明．

h = f . g

と

h x y = (f . g) x y

は外延性の原理により等価な表明であるが，型があわないのでともに正しい表明ではない．